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 Zeitkomplexität: Linear zu Transitionen
-Aber //state-explosion-problem//: Exponentiell mit Anzahl zu modelierender Prozesse
+Aber //state-explosion-problem//: Exponentiell mit Anzahl zu modelierender Prozesse \\ => BDDs verhindern das (es kann optimiert werden)
+=== Fairnes ===
+Alle interessierenden Zustände können immer unendlich offt erreicht werden.
+  * D.h. für ''E?'', es Existiert ein fairer Pfad in dem ...
+  * D.h. für ''A?'', in allen fairen Pfaden gild ...
+Abwandlung des Labeling Algorithmuses:
+  * Starke Zusammenhangskomponente ist fair, wenn ein Zustand Fairnesbedingung erfüllt
+  * Zustand ist fair, wenn ein (längerer) Pfad zu fairen starken Zusamenhangskomponente existiert
+=== Encoding of CTL in BDD ===
+BDD ist ein Bitvektor und daher kann ich ein Transitionsystem eincodieren, sowie ein  $\phi$ .
+http://nicta.com.au/__data/assets/pdf_file/0018/14814/lecture4-mc2.pdf
+<WRAP center round important 60%>
+ToDo
+</WRAP>
+==== LTL ====
+^ Propositionale Variablen |  $p, q, \ldots$  | **eingeschränktes** CTL! |
+^ Junktoren |  $\neg, \wedge$  | ::: |
+^ Formel |  $\phi, \psi, \ldots$  | ::: |
+^ Konstanten |  $\top$  | ::: |
+^ Foo |  $X \phi, F \phi, G \phi, \phi U \psi$  | |
+  * Fairness direkt angebbar: ''**(GF** p1.state=running**) =>** ...''
+  * CTL ist ausdrucksstärker
+  * Für **alle** Pfade muss ... gelten
+==== Büchi Automat ====
+ $(\Sigma, T, I, E, \delta)$
+|  $\Sigma$  | Menge | Alphabet |
+|  $Z$  | Menge | Zustände |
+|  $I$  | Menge | Anfangszustände |
+|  $E$  | Menge | Endzustände |
+|  $\delta$  | Relation | Zustandsübergänge |
+  * Nichtdeterministisch
+  * Unendliche Wörter
+  * Akzeptiert: Wenn mindestens ein Lauf //existiert//, der immer zu einem Endzustand kommen (unendlich offt)
+ $L = (b^{*}a)^\omega$  (wenn ''a'' immer wieder vorkommen muss)
+|  $\omega$  | FG | Unendlich offt vorkommen |
+|  $*$       | GF | Endlich offt vorkommen   |
+===== Typanalyse =====
+==== While Programm ====
+  * ''**while [**...**] do **...''
+  * ''**if [**...**] then **...** else **...''
+  * ''**true**''
+  * ''**false**''
+  * ''**not **...''
+  * ''... **:= **...''
+  * Aritmetische Ausdrücke
+  * Boolsche Ausdrücke
+==== Datenflussgleichung ====
+"Erreichbare Definitionen" (Reachable Definitions)
+  *  $RD_{{\color{ForestGreen}entry}}(\ell) = \bigcup_{{\color{red}\ell'}:{\color{red}\ell'}\rightarrow\ell}RD_{exit}({\color{red}\ell'})$
+  *  $RD_{exit}(\ell) = (RD_{{\color{ForestGreen}entry}}(\ell) \setminus \text{"Entwertete Zuweisungen"}) \cup \text{ "Neue Zuweisungen"}$
+  * Zu beginn werden //alle// Variablen mit " $(X, \ell)$ " initialisiert.
+"Verfügbare Ausdrücke" (Available Expressions)
+  *  $AE_{{\color{ForestGreen}entry}}(\ell) = {\color{blue}\bigcap}_{{\color{red}\ell'}:{\color{red}\ell'}\rightarrow\ell}AE_{exit}({\color{red}\ell'})$
+  *  $AE_{exit}(\ell) = (AE_{{\color{ForestGreen}entry}}(\ell) \setminus kill_{AE}(B^\ell)) \cup gen_{AE}(B^\ell)$
+  *  $kill_{AE}([x:=a]^\ell) = \{\text{Formeln, die }x\text{ enthalten}\}$
+  *  $gen_{AE}([x := a]) = \{\text{Teilausdrücke von }a\text{ ohne }x\}$
+  *  $gen_{AE}([bool\ exp]) = \{\text{Teilausdrücke von }bool\ exp\}$
+  * Zu beginn werden //alle// Variablen mit " $\emptyset$ " initialisiert.
+  * //Nur// Arithmetische Ausdrücke
+"Lebendige Variablen" (Live Variables)
+  *  $LV_{exit}(\ell) = \bigcup_{{\color{red}\ell'}:\ell\rightarrow{\color{red}\ell'}}LV_{{\color{ForestGreen}entry}}({\color{red}\ell'})$
+  *  $LV_{{\color{ForestGreen}entry}}(\ell) = (LV_{exit}(\ell) \setminus kill_{LV}(B^\ell)) \cup gen_{LV}(B^\ell)$
+  *  $kill_{LV}([x:=a]^\ell) = \{x\}$
+  *  $gen_{LV}([x := a]) = \{\text{Variablen in }a\}$
+  *  $gen_{LV}([bool\ exp]) = \{\text{Variablen in }bool\ exp\}$
+  * Zu beginn werden //alle// Variablen mit " $\emptyset$ " initialisiert.
+^  $\ell$  ^  $RD_{entry}(\ell)$  ^  $RD_{exit}(\ell)$  ^
+| 1 | (x, ?), (y, ?) | ... |
+| 2 | ... | ... |
+| 3 | ... | ... |
+So lange ausfüllen, bis nichts mehr geht.
+Das geht, weil //Fixpunkte// und //Knaster-Tarski-Theorem//
 ==== SMV ====
 Teile
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   - TRANS
   - SPEC
+  - JUSTICE/FAIRNESS
   * Case sensitive
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   * ''... **:=** ... **;**''
+=== JUSTICE/FAIRNESS ===
+<code>
+JUSTICE/FAIRNESS
+  p1.status = running
+</code>
+===== Beweise =====
+==== Vollständiger Verband ====
+Verband  $(L, \sqsubseteq)$
+  * **reflexiv** \\  $\forall_{x \in L} : x \sqsubseteq x$
+  * **transitiv** \\  $\forall_{x, y, z \in L} : x \sqsubseteq y \wedge y \sqsubseteq z \Rightarrow x \sqsubseteq z$
+  * **antisymetrisch** \\  $\forall_{x, y \in L} : x \sqsubseteq y \wedge y \sqsubseteq x \Rightarrow x = y$
+  * **Jede Teilmenge hat ein Supremum** \\ Jedes  $U \subseteq L$  hat ein  $\bigsqcup U$
+==== Supremum ====
+ $s = \bigsqcup U$
+  * **Ist obere Schranke** \\  $\forall_{x \in U} : x \sqsubseteq s$
+  * **Ist //kleinste// obere Schranke** \\  $s' \text{ ist obere Schranke } \Rightarrow s \sqsubseteq s'$
+==== Monotonie ====
+  *  $x \sqsubseteq y \Rightarrow F(x) \sqsubseteq F(y)$
+==== Fixpunkt ====
+  *  $\exists x: F(x) = x$
+Dazu muss  $F(x)$  monoton sein.
+===== Probleme =====
+==== Semaphor ====
+==== Alternating Bit Protocol ====
+  * Zwei Kommunikationspartner
+  * Bidirektionaler Kanal
+  * Nachricht: OK/Defekt
+  * So lange wiederholen bis es klapt
+OK
+^ Kontrollbit: 0 ^ Nachricht | -> ^  | OK |
+^ || <- ^ 0 | ::: |
+^ Kontrollbit: 1 ^ Nachricht | -> ^  | OK |
+^ || <- ^ 1 | ::: |
+Fehler
+^ Kontrollbit: 0 ^ Nachricht | -> ^ ✘ | Fehler beim Empfänger \\ => Unerwartetes Kontrollbit zurück senden |
+^ || <- ^ 1 | ::: |
+^ Kontrollbit: 0 ^ Nachricht | -> ^  | Fehler beim Sender |
+^ ✘ || <- ^ 0 | ::: |
+^ Kontrollbit: 0 ^ Nachricht | -> ^  | OK |
+^ || <- ^ 0 | ::: |
+^ Kontrollbit: 1 ^ Nachricht | -> ^ ✘ | Fehler beim Empfänger \\ => Unerwartetes Kontrollbit zurück senden |
+^ || <- ^ 0 | ::: |
+^ Kontrollbit: 1 ^ Nachricht | -> ^  | Fehler beim Sender |
+^ ✘ || <- ^ 1 | ::: |
+^ Kontrollbit: 1 ^ Nachricht | -> ^  | OK |
+^ || <- ^ 1 | ::: |